Sistemas Lineares

Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir:

A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação.

Os coeficientes a_mx_m, a_m2x_m2, a_m3x_m3, ... , a_n, a_n2, a_n3 das incógnitas x₁, x_m2,x_m3, ... , x_n, x_n2, x_n3 são números reais.
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente.

Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a₁x₁ + a₂x₂ = 0.
Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo: a₁x₁ + a₂x₂ = 3.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrado pela substituição das variáveis por valores.

• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).

As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São completas as matrizes que consideram os termos independentes das equações.

Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de coeficientes é o mesmo que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero.

Exercícios Resolvidos

Vamos resolver passo a passo cada equação a fim de classificá-las em SPD, SPI ou SI.

Exemplo 1 - Sistema Linear com 2 Equações

Exemplo 2 - Sistema Linear com 3 Equações

Se D = 0, podemos estar diante de um SPI ou de um SI. Assim, para saber qual a classificação correta, vamos ter de calcular os determinantes secundários.

Nos determinantes secundários são utilizados os termos independentes das equações. Os termos independentes substituirão uma das incógnitas escolhidas.

Vamos resolver o determinante secundário Dx, por isso, vamos substituir o x pelos termos independentes.

Como o determinante principal é igual a zero e um determinante secundário também é igual a zero, sabemos que esse sistema é classificado como SPI.

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