POTENCIAÇÃO
Em tempo: A explicação da fatoração em números primos
também é do Profº Caju,
veja na postagem Números Primos - M.D.C. e M.M.C.
também é do Profº Caju,
veja na postagem Números Primos - M.D.C. e M.M.C.
Para indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.
5 elevado à potência 4
54
54
Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Veja mais exemplos:
| 29 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512 33 = 3 · 3 · 3 = 27 82 = 8 · 8 = 64 |
Genericamente podemos representar uma potência:
Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente" ou "potência".
Com esta definição de potenciação, podemos efetuar algumas continhas utilizando estas potências. Por exemplo, podemos multiplicar 53 por 59.
Veja abaixo como fazer isso...
| MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE |
 | Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas. Por exemplo, se aparecer o número 54 multiplicado por 53, |
 | Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência | ||
 | Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53 | ||
 | Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base. Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos: | ||
| Esta é a regra. "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo. Conserva-se a base e soma-se os expoentes. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada. Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto. |
| DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE |
 | O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. O exemplo será 126 divididos por 122 |
 | Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência. | ||
 | Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração. Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo. | ||
 | Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo. | ||
  | Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base. Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. Genericamente, temos: | ||
| Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas. |
| MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE |
 | Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer? Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais. O exemplo será 65multiplicados por 95: |
 | Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências. | ||
 | Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem. | ||
  | Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então | ||
 | E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número. Conserva-se o expoente e multiplica-se a base. Generalizando: | ||
| Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos. |
| DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE |
 | O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. O exemplo será 84 divididos por 54: |
 | Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências. | ||
 | Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra. | ||
 | E isto é a fração  elevado na potência 4. | ||
 | E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando, | ||
| Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos. Conserva-se o expoente e divide-se as bases. |
| POTÊNCIA DE POTÊNCIA |
 |  | Já vimos as principais propriedades de operações. Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:
(42)3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo: |
 | Vamos abrir a potência de dentro do parênteses | ||
 | Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes, | ||
  | E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências. | ||
 | Generalizando, ficamos com: | ||
| Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos. Potência de potência, multiplica-se os expoentes. |
ATENÇÃO
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Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
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O Profº Caju tem um site para vestibulares, mas explica tão claramente
esta matéria, que qualquer adolescente poderá entendê-la, se você duvida, veja abaixo e depois se quiser visite o site (clique em estude on line)
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